Математичний аналізШпаргалка

Шпаргалка: математичний аналіз

Тут зібрано те, що найчастіше шукають під час задач: формули, умови й коротку відповідь «навіщо це». Відкривайте шпаргалку з будь-якого уроку в меню змісту.

Множини, модуль, околи

  • Модуль як відстань

    ∣x−a∣|x-a| — наскільки xx далеко від aa. Нерівності з модулем зручно читати геометрично, а не «розкривати випадково».

    ∣x−a∣<ε  ⟺  x∈(a−ε,a+ε)|x-a|<\varepsilon \iff x\in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)

  • Супремум і інфімум

    Найменша верхня й найбільша нижня межа множини. Можуть не належати самій множині (на відміну від max/min).

    M=sup⁡A  ⟺  (∀x∈A: x≤M) ∧ (∀ε>0 ∃x∈A: x>M−ε)M=\sup A \iff (\forall x\in A:\ x\le M)\ \land\ (\forall\varepsilon>0\ \exists x\in A:\ x>M-\varepsilon)

Границі

  • Границя функції

    Значення, до якого f(x)f(x) наближається, коли xx підходить до aa (сама точка aa може не цікавити).

    lim⁡x→af(x)=L  ⟺  ∀ε>0 ∃δ>0: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

  • Чудові границі (орієнтири)

    Базові «цеглинки» для розкриття невизначеностей без Лопіталя.

    lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→0(1+x)1/x=e,lim⁡x→∞(1+1n)n=e\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e,\quad \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n=e

  • Невизначеності

    Форми на кшталт 00\frac{0}{0}, ∞∞\frac{\infty}{\infty}, 0⋅∞0\cdot\infty, ∞−∞\infty-\infty — сигнал спростити (заміна, множення на спряжене, Лопіталь).

    Лопіталь працює лише для 00\frac{0}{0} або ∞∞\frac{\infty}{\infty} за відповідних умов.

Неперервність

  • Неперервність у точці

    Графік «не стрибає»: значення функції збігається з границею.

    f неперервна в a  ⟺  lim⁡x→af(x)=f(a)f\text{ неперервна в }a \iff \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

  • Теорема Больцано–Коші

    Якщо неперервна функція на відрізку змінює знак, є корінь. Основа методу бісекції.

    f∈C[a,b], f(a)f(b)<0⇒∃c∈(a,b): f(c)=0f\in C[a,b],\ f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists c\in(a,b):\ f(c)=0

Похідна

  • Означення похідної

    Миттєва швидкість зміни / нахил дотичної.

    f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

  • Правила диференціювання

    Будівельні блоки для будь-якої «складеної» функції.

    (uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2,(f∘g)′=f′(g) g′(uv)'=u'v+uv',\quad \Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad (f\circ g)'=f'(g)\,g'

  • Таблиця базових похідних

    Повний мінімальний набір: степені, експонента/лог, тригонометрія й аркфункції.

    (xn)′=nxn−1, (1/x)′=−1/x2, (x)′=1/(2x), (ex)′=ex, (ax)′=axln⁡a, (ln⁡x)′=1/x, (log⁡ax)′=1/(xln⁡a)(x^n)'=nx^{n-1},\ (1/x)'=-1/x^2,\ (\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x}),\ (e^x)'=e^x,\ (a^x)'=a^x\ln a,\ (\ln x)'=1/x,\ (\log_a x)'=1/(x\ln a)

  • Похідні тригонометрії та аркфункцій

    Ті самі формули, що в таблиці уроку про похідну.

    (sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tg⁡x)′=1/cos⁡2x, (ctg⁡x)′=−1/sin⁡2x, (sec⁡x)′=sec⁡xtg⁡x, (csc⁡x)′=−csc⁡xctg⁡x; (arcsin⁡x)′=1/1−x2, (arccos⁡x)′=−1/1−x2, (arctg⁡x)′=1/(1+x2), (arcctg⁡x)′=−1/(1+x2)(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\operatorname{tg} x)'=1/\cos^2 x,\ (\operatorname{ctg} x)'=-1/\sin^2 x,\ (\sec x)'=\sec x\operatorname{tg} x,\ (\csc x)'=-\csc x\operatorname{ctg} x;\ (\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2},\ (\arccos x)'=-1/\sqrt{1-x^2},\ (\operatorname{arctg} x)'=1/(1+x^2),\ (\operatorname{arcctg} x)'=-1/(1+x^2)

Теореми про середнє

  • Теорема Ролля / Лагранжа

    Між двома точками з однаковими значеннями є горизонтальна дотична; у загальному випадку — дотична паралельна хорді.

    ∃c∈(a,b): f′(c)=f(b)−f(a)b−a\exists c\in(a,b):\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

  • Правило Лопіталя

    Для границь типу 00\frac{0}{0} або ∞∞\frac{\infty}{\infty} інколи можна диференціювати чисельник і знаменник.

    lim⁡fg=lim⁡f′g′(за умов теореми)\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}\quad\text{(за умов теореми)}

Дослідження функції

  • Монотонність і екстремуми

    Знак f′f' каже, де функція росте/спадає; нулі f′f' — кандидати в max/min.

    f′>0⇒зростає;f′(x0)=0, f′′ змінює знак⇒екстремумf'>0\Rightarrow\text{зростає};\quad f'(x_0)=0,\ f''\text{ змінює знак}\Rightarrow\text{екстремум}

    Перевіряйте також кінці відрізка й точки, де f′f' не існує.

  • Опуклість

    Знак f′′f'': опуклість вгору/вниз і точки перегину.

    f′′>0⇒опукла вниз (чаша);f′′=0+зміна знака⇒перегинf''>0\Rightarrow\text{опукла вниз (чаша)};\quad f''=0+\text{зміна знака}\Rightarrow\text{перегин}

Первісна та інтеграл

  • Первісна

    «Навпаки» до похідної: знайти FF таку, що F′=fF'=f.

    ∫f(x) dx=F(x)+C,F′=f\int f(x)\,dx=F(x)+C,\quad F'=f

  • Таблиця базових інтегралів

    Степені, експонента, тригонометрія, аркфункції — той самий мінімальний набір, що в уроці.

    ∫xα=xα+1/(α+1) (α≠−1); ∫dx/x=ln⁡∣x∣; ∫ex=ex; ∫ax=ax/ln⁡a; ∫sin⁡=−cos⁡; ∫cos⁡=sin⁡; ∫1/cos⁡2=tg⁡; ∫1/sin⁡2=−ctg⁡; ∫dx/(1+x2)=arctg⁡x; ∫dx/1−x2=arcsin⁡x\int x^{\alpha}=x^{\alpha+1}/(\alpha+1)\ (\alpha\neq-1);\ \int dx/x=\ln|x|;\ \int e^x=e^x;\ \int a^x=a^x/\ln a;\ \int\sin=-\cos;\ \int\cos=\sin;\ \int 1/\cos^2=\operatorname{tg};\ \int 1/\sin^2=-\operatorname{ctg};\ \int dx/(1+x^2)=\operatorname{arctg} x;\ \int dx/\sqrt{1-x^2}=\arcsin x

  • Заміна та частинами

    Два головні прийоми обчислення: підгонка під таблицю й «перекидання» похідної.

    ∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(u) du;∫u dv=uv−∫v du\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du;\quad \int u\,dv=uv-\int v\,du

  • Визначений інтеграл (Ньютон–Лейбніц)

    Площа з урахуванням знака / накопичена зміна — через первісну.

    ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Застосування інтеграла

  • Площа й обʼєм

    Інтеграл «склеює» нескінченно тонкі смужки або диски.

    S=∫ab∣f−g∣ dx,V=π∫ab[R(x)]2 dxS=\int_a^b|f-g|\,dx,\quad V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx

  • Невласні інтеграли

    Коли межа нескінченна або функція «вибухає» — інтеграл як границя звичайних.

    ∫a+∞f=lim⁡b→+∞∫abf\int_a^{+\infty}f=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f

    Збіжність ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx при p>1p>1.

Числові ряди

  • Збіжність ряду

    Ряд — нескінченна сума; збігається, якщо частинні суми мають границю.

    ∑n=1∞an збігається  ⟺  ∃lim⁡N→∞SN, SN=∑n=1Nan\sum_{n=1}^\infty a_n\text{ збігається}\iff\exists\lim_{N\to\infty}S_N,\ S_N=\sum_{n=1}^N a_n

  • Ознаки (шпаргалка вибору)

    Порівняння / граничне порівняння — з відомим; Даламбер/Коші — факторіали й степені; інтегральна — для спадних додатних.

    Даламбер: L=lim⁡∣an+1an∣; L<1⇒збіг, L>1⇒розбіг\text{Даламбер: }L=\lim\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|;\ L<1\Rightarrow\text{збіг},\ L>1\Rightarrow\text{розбіг}

    При L=1L=1 ознака мовчить — беріть іншу.

  • Геометричний і $p$-ряд

    Еталони для порівняння.

    ∑qn збіг при ∣q∣<1;∑n−p збіг при p>1\sum q^n\text{ збіг при }|q|<1;\quad \sum n^{-p}\text{ збіг при }p>1

Степеневі ряди й Тейлор

  • Радіус збіжності

    Степеневий ряд живе в інтервалі навколо центра.

    1R=lim sup⁡∣an∣1/nабо1R=lim⁡∣an+1an∣\frac1R=\limsup|a_n|^{1/n}\quad\text{або}\quad \frac1R=\lim\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|

  • Ряд Тейлора

    Локальна «поліноміальна модель» функції.

    f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Функції багатьох змінних

  • Частинні похідні й градієнт

    Градієнт вказує напрям найшвидшого зростання; частинні — зміни «по одній осі».

    ∇f=(fx′,fy′,fz′),df=fx′ dx+fy′ dy\nabla f=\bigl(f'_x,f'_y,f'_z\bigr),\quad df=f'_x\,dx+f'_y\,dy

  • Екстремуми (Гессе)

    Критичні точки: ∇f=0\nabla f=0; тип дивимось через визначники матриці других похідних.

    H=(fxx′′fxy′′fyx′′fyy′′),det⁡H>0, fxx′′>0⇒мінH=\begin{pmatrix}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{pmatrix},\quad \det H>0,\ f''_{xx}>0\Rightarrow\text{мін}

Кратні інтеграли

  • Подвійний інтеграл

    Обʼєм під поверхнею / маса пластини — інтеграл по області.

    ∬Df(x,y) dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx

  • Заміна змінних (Якобіан)

    Перехід до полярних тощо множить на «коефіцієнт розтягнення» області.

    dx dy=∣det⁡DΨ(u,v)∣ du dvdx\,dy=\bigl|\det D\Psi(u,v)\bigr|\,du\,dv

Диференціальні рівняння

  • З відокремлюваними змінними

    Найпростіший клас: змінні розкладаються по різні боки.

    dydx=g(x)h(y) ⇒ ∫dyh(y)=∫g(x) dx\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx

  • Лінійне першого порядку

    Стандартний шаблон із інтегруючим множником.

    y′+p(x)y=q(x),μ=e∫p dx,(μy)′=μqy'+p(x)y=q(x),\quad \mu=e^{\int p\,dx},\quad (\mu y)'=\mu q

  • Лінійне зі сталими коефіцієнтами

    Характеристичне рівняння дає базис розвʼязків erxe^{rx}, xkerxx^ke^{rx}, коливання.

    y′′+ay′+by=0 → y=erx  r2+ar+b=0y''+ay'+by=0\ \xrightarrow{\ y=e^{rx}\ }\ r^2+ar+b=0

← До програми курсу