Обернені матриці та визначники

Іноді матрицю хочеться «поділити»: якщо $A$ оборотна, розвʼязок $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ — просто $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ . Визначник — одне число, яке одразу каже, чи така обернена існує, і ще вимірює, як відображення змінює площу чи обʼєм. Для малих матриць це швидкий тест; для великих на практиці частіше лишаються при Гауссі, але ідея визначника всюдисуща.

Коли матрицю можна обернути

Квадратна $A$ оборотна, якщо існує $A^{-1}$ з $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ . Це те саме, що: ранг повний, стовпці незалежні, однорідна система має лише нульовий розвʼязок, і $\det A\neq 0$ . Практично обернену шукають методом Гаусса–Жордана на $[A\mid I]$ : якщо вийде $[I\mid B]$ , то $B=A^{-1}$ . Для добутку порядок змінюється: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

AA^{-1}=I,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}

Приклад

Для $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ маємо $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\neq 0$ . Формула $2\times 2$ : $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ дає $A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$ . Система $A\mathbf{x}=(1,0)^\top$ має розвʼязок $A^{-1}(1,0)^\top=(-2,3/2)^\top$ .

A^{-1}

Визначник: площа, обʼєм, знак

Для $2\times 2$ визначник $ad-bc$ — орієнтована площа паралелограма на стовпцях. Для $3\times 3$ — орієнтований обʼєм (мішаний добуток). Нуль означає, що стовпці «сплющені» в меншу розмірність: матриця вироджена. Ключові правила: $\det(AB)=\det A\cdot\det B$ ; перестановка двох рядків міняє знак; додавання кратного рядка не змінює визначник; для трикутної матриці визначник — добуток діагоналі. Тому Гаусс також рахує визначник «по дорозі».

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc,\qquad \det(AB)=\det A\,\det B

Приклад

Матриця $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ розтягує одиничний квадрат у прямокутник площі $2$ , і $\det=2$ . Матриця $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ має пропорційні стовпці: площа $0$ , $\det=0$ , оберненої немає.

\det=2

Порада

Щоб швидко порахувати визначник із багатьма нулями, розкривайте за рядком/стовпцем із нулями або зведіть до трикутного вигляду, слідкуючи за знаками від перестановок.

Правило Крамера (коли зручно)

Якщо $A$ оборотна, кожна координата розвʼязку $x_j=\det A_j(\mathbf{b})/\det A$ , де в $A_j$ замість $j$ -го стовпця стоїть $\mathbf{b}$ . Для $2\times 2$ і $3\times 3$ це інколи зручно вручну. Для великих $n$ краще Гаусс: потрібно менше арифметики. Якщо $\det A=0$ , формули Крамера не працюють — система або несумісна, або має нескінченно багато розвʼязків.

x_j=\frac{\det A_j(\mathbf{b})}{\det A} \quad(\det A\neq 0)

Приклад

Нехай $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $\mathbf{b}=(5,8)^\top$ . Тоді $\det A=2\cdot 3-1\cdot 1=5$ . Замінюємо перший стовпець на $\mathbf{b}$ : $A_1=\begin{pmatrix}5&1\\8&3\end{pmatrix}$ , $\det A_1=15-8=7$ . Замінюємо другий: $A_2=\begin{pmatrix}2&5\\1&8\end{pmatrix}$ , $\det A_2=16-5=11$ . За Крамером $x_1=7/5$ , $x_2=11/5$ . Перевірка $A\mathbf{x}$ : $2\cdot\frac75+1\cdot\frac{11}5=\frac{14+11}5=\frac{25}5=5$ , $1\cdot\frac75+3\cdot\frac{11}5=\frac{7+33}5=\frac{40}5=8$ — збігається з $\mathbf{b}$ .

Увага

Не застосовуйте Крамера при $\det A=0$ і не плутайте заміну стовпця з заміною рядка. Умова $\det A\neq 0$ і існування $A^{-1}$ — одне й те саме різними словами.

Що запамʼятати

Оборотність $\Leftrightarrow$ $\det A\neq 0$ $\Leftrightarrow$ повний ранг. Обернену шукають через $[A\mid I]$ або формулу для $2\times 2$ . Визначник мультиплікативний і міряє зміну обʼєму. Крамер красивий для малих систем; для великих — Гаусс.

Коли матрицю можна обернути

Визначник: площа, обʼєм, знак

Правило Крамера (коли зручно)

Що запамʼятати

Перевірка

Додаткова практика