Системи лінійних рівнянь

Порада

Наполегливо рекомендуємо йти цим курсом разом із відеосерією Essence of Linear Algebra (3Blue1Brown): короткі ролики добре показують геометрію ідей, а уроки тут дають формули, приклади «від і до» та практику. Дивіться плейлист паралельно з модулями.

Essence of Linear Algebra — 3Blue1BrownYouTube-плейлист: дивіться разом із курсом

Уявіть дві покупки: хліб і молоко. Якщо з чеків відомо лише суми й кількість товарів, ви вже маєте систему лінійних рівнянь. Такі системи зʼявляються в балансах сил, електричних колах, економіці й у майже будь-якій моделі, де кілька невідомих повʼязані «прямою пропорцією». Лінійна алгебра починається саме тут: ми вчимося записувати умови компактно й зрозуміти, коли розвʼязок існує, єдиний чи їх нескінченно багато.

Від рівнянь до матриці

Систему зручно зібрати в таблицю коефіцієнтів $A$ , стовпець невідомих $\mathbf{x}$ і стовпець правих частин $\mathbf{b}$ . Тоді все рівняння стискається до $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ . Розширена матриця $[A\mid\mathbf{b}]$ тримає й коефіцієнти, і відповіді — саме з нею працюють перетворення рядків. Три операції завжди дозволені: поміняти рядки місцями, помножити рядок на ненульове число, додати кратне одного рядка до іншого. Вони не змінюють множину розвʼязків.

A\mathbf{x}=\mathbf{b} \quad\Longleftrightarrow\quad [A\mid\mathbf{b}] \text{ зводимо рядковими операціями}

Приклад

Система $x+y=3$ , $2x-y=0$ . Розширена матриця $\begin{pmatrix}1&1&|&3\\2&-1&|&0\end{pmatrix}$ . Від другого рядка віднімемо подвоєний перший: $\begin{pmatrix}1&1&|&3\\0&-3&|&-6\end{pmatrix}$ . Ділимо другий рядок на $-3$ : $y=2$ . З першого: $x=1$ . Розвʼязок $(1,2)$ — точка перетину двох прямих на площині.

Дві прямі на площині: єдиний розвʼязок системи — точка перетину

Приклад

Гаусс–Жордан для $3\times 3$ . Система $x+y+z=6$ , $2x+y+3z=14$ , $x+3y+2z=14$ . Розширена $\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\2&1&3&|&14\\1&3&2&|&14\end{pmatrix}$ . $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ , $R_3\leftarrow R_3-R_1$ : $\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\0&-1&1&|&2\\0&2&1&|&8\end{pmatrix}$ . $R_2\leftarrow(-1)R_2$ : $\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\0&1&-1&|&-2\\0&2&1&|&8\end{pmatrix}$ . $R_3\leftarrow R_3-2R_2$ : $\begin{pmatrix}1&1&1&|&6\\0&1&-1&|&-2\\0&0&3&|&12\end{pmatrix}$ . $R_3\leftarrow\frac13 R_3$ : $z=4$ . Далі нулі над ведучими: $R_2\leftarrow R_2+R_3$ дає $y=2$ ; $R_1\leftarrow R_1-R_3$ і $R_1\leftarrow R_1-R_2$ дає $x=0$ . Розвʼязок $(0,2,4)$ . Перевірка в першому рівнянні: $0+2+4=6$ .

Метод Гаусса: сходинки замість хаосу

Ідея Гаусса проста: під «ведучими» елементами зробити нулі, рухаючись зліва направо й зверху вниз. Отримаємо ступінчасту форму, далі зворотним ходом знайдемо невідомі. Гаусс–Жордан іде далі: нулі роблять і над ведучими, а самі ведучі нормують до $1$ . Тоді відповідь читається майже з матриці. Змінні з ведучим стовпцем — базисні; решта — вільні параметри. Якщо вільних $k$ , загальний розвʼязок містить $k$ параметрів (пряма, площина…).

[A\mid\mathbf{b}] \;\to\; \begin{pmatrix} 1 & * & * & | & * \\ 0 & 1 & * & | & * \\ 0 & 0 & 1 & | & * \end{pmatrix} \quad\text{(зведена ступінчаста форма)}

Порада

Спочатку беріть ведучий у найлівішому можливому стовпці. Якщо зʼявився рядок $[0\ \cdots\ 0\mid c]$ із $c\neq 0$ — це $0=c$ , система несумісна. Рядок із нулем і справа просто зайвий: його можна викреслити.

Коли є розвʼязок і скільки їх

Ранг матриці — кількість ведучих елементів після зведення. Система сумісна тоді й лише тоді, коли $\operatorname{rank} A=\operatorname{rank}[A\mid\mathbf{b}]$ . Якщо цей ранг дорівнює числу невідомих $n$ , розвʼязок єдиний. Якщо ранг менший за $n$ , зʼявляються вільні змінні й нескінченно багато розвʼязків. Геометрично: одне рівняння з двома невідомими — пряма; два рівняння — перетин прямих (точка, вся пряма або порожньо). Однорідна система $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ завжди сумісна: нуль завжди розвʼязок.

Три випадки системи двох рівнянь: одна спільна точка, паралельні прямі без жодної спільної, і пряма, що лягає сама на себе — спільних точок нескінченно багато

\operatorname{rank} A=\operatorname{rank}[A\mid\mathbf{b}] \text{ (сумісність)},\quad \operatorname{rank} A=n \text{ (єдиність)}

Приклад

Система $x+y+z=1$ , $2x+2y+2z=2$ має ранг $1$ і той самий ранг розширеної матриці — сумісна. Невідомих три, тож дві вільні змінні: $y=s$ , $z=t$ , $x=1-s-t$ (площина). Натомість $x+y=1$ , $x+y=2$ дає $0=1$ : ранги різні, розвʼязків немає — паралельні різні прямі.

Увага

«Більше рівнянь, ніж невідомих» не означає автоматично «немає розвʼязку». Зайві рівняння можуть бути наслідками інших. Суперечність дає лише рядок із нулями зліва й ненулем справа.

Що запамʼятати

Систему пишуть як $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ і зводять рядковими операціями. Гаусс дає сходинки й зворотний хід; Гаусс–Жордан — готові значення базисних змінних. Сумісність — рівність рангів; єдиність — ранг $=n$ . Вільні змінні дають сімʼї розвʼязків. Геометрія — перетин прямих або площин.

Від рівнянь до матриці

Метод Гаусса: сходинки замість хаосу

Коли є розвʼязок і скільки їх

Що запамʼятати

Перевірка

Додаткова практика