Матрична алгебра

Матриця — це не просто таблиця чисел. Вона кодує «як система реагує на вхід»: повернули вектор, розтягнули, змішали сигнали. Коли ви вже вмієте розвʼязувати $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , природно запитати: що означає додати дві матриці, перемножити їх і розкласти $A$ на простіші множники? Саме це робить обчислення швидшими, коли правих частин багато.

Додавання, скаляр, транспонування

Матриця $m\times n$ має $m$ рядків і $n$ стовпців. Однакові за розміром матриці додають поелементно; множення на число $c$ теж поелементне. Одинична $I$ — «нічого не змінити»: одиниці на діагоналі. Транспонування $A^T$ міняє рядки на стовпці. Вектор-стовпець — це матриця $n\times 1$ ; зручно думати, що $A\mathbf{x}$ — лінійна комбінація стовпців $A$ з коефіцієнтами з $\mathbf{x}$ .

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad (cA)_{ij}=c\,a_{ij},\qquad A\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n

A\mathbf{x}

Приклад

Нехай $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}$ . Тоді $A+B=\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}$ , $2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$ , $A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ . Якщо $\mathbf{e}_1=(1,0)^\top$ , то $A\mathbf{e}_1$ — перший стовпець $A$ , тобто $(1,3)^\top$ .

A

Множення: рядок на стовпець

Добуток $AB$ існує, лише коли кількість стовпців $A$ дорівнює кількості рядків $B$ . Елемент $(AB)_{ik}$ — скалярний добуток $i$ -го рядка $A$ на $k$ -й стовпець $B$ . Множення асоціативне: $(AB)C=A(BC)$ , але загалом $AB\neq BA$ . Це як композиція дій: спочатку $B$ , потім $A$ — порядок важливий. Тому «скорочувати» матриці як числа небезпечно: з $AB=AC$ не випливає $B=C$ без оборотності $A$ .

I

(AB)_{ik}=\sum_{j} a_{ij}b_{jk},\qquad (AB)^T=B^T A^T

Увага

Не множте матриці «клітинка на клітинку» — це інша операція. І памʼятайте: $(AB)^T=B^T A^T$ , порядок множників змінюється.

Елементарні матриці та ідея LU

Кожну рядкову операцію можна записати як множення зліва на елементарну матрицю (одиничну після тієї ж операції). Якщо Гаусс без перестановок зводить $A$ до верхньотрикутної $U$ , множники елімінації збирають у нижньотрикутну $L$ з одиницями на діагоналі: $A=LU$ . Тоді систему розвʼязують у два кроки: $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ , потім $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ . Якщо потрібен обмін рядків, пишуть $PA=LU$ .

A=LU \quad\text{(без swap)},\qquad PA=LU \quad\text{(з перестановкою $P$)}

Приклад

Для $A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ : множник елімінації $\ell_{21}=4/2=2$ , після віднімання $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ маємо $U=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ , $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$ . Перевірка $LU=\begin{pmatrix}2&1\\4&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=A$ . Для $\mathbf{b}=(5,11)^\top$ спочатку $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ : $y_1=5$ , $2y_1+y_2=11\Rightarrow y_2=1$ . Потім $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$ : $x_2=1$ , $2x_1+x_2=5\Rightarrow x_1=2$ . Перевірка $A\mathbf{x}=(2\cdot 2+1,\,4\cdot 2+3)^\top=(5,11)^\top=\mathbf{b}$ .

Порада

Якщо алгоритм вимагає swap, не шукайте чистий $A=LU$ насильно — переходьте до $PA=LU$ . Для багатьох правих частин факторизують $A$ один раз.

Що запамʼятати

Додають поелементно; множать «рядок×стовпець» при узгоджених розмірах. Множення асоціативне, але некомутативне; $A\mathbf{x}$ — комбінація стовпців. Рядкові операції — множення зліва на елементарні матриці. $LU$ стискає Гаусса: спочатку $L$ , потім $U$ ; при перестановках — $PA=LU$ .

Додавання, скаляр, транспонування

Множення: рядок на стовпець

Елементарні матриці та ідея LU

Що запамʼятати

Перевірка

Додаткова практика