Моделі й діаграми Венна

Ймовірнісна модель — це три складові: простір результатів $S$ (усі можливі виходи), події як підмножини $S$ і функція $P$, що кожній події ставить число від 0 до 1. Для погоди можна взяти $S = \{\text{дощ}, \text{сніг}, \text{ясно}\}$; для монети — $S = \{H, T\}$. Модель описує лише те, що нас цікавить: ціни акцій не входять у модель погоди. Без явного $S$ незрозуміло, що саме означає «ймовірність 0,4».

Аксіоми ймовірності

Нуль — «неможливо в цій моделі», один — «напевно станеться щось з $S$». Адитивність: якщо події не перетинаються, ймовірність обʼєднання — сума. Для погоди з $P(\text{дощ})=0{,}4$, $P(\text{сніг})=0{,}15$, $P(\text{ясно})=0{,}45$ маємо $P(\text{дощ або сніг}) = 0{,}55$, бо день одного типу. Перша перевірка будь-якої таблиці — сума ймовірностей атомів дорівнює 1.

Приклад виборів: $S=\{1,2,3\}$, $P(1)=1/2$, $P(2)=1/3$, $P(3)=1/6$. Тоді $P(\{1,2\})=5/6$. Якщо хтось пропонує $P(\{1,2\})=0{,}7$ при тих самих атомах — це вже не модель: порушено адитивність. Діаграма Венна далі покаже, чому «або» і «і» дають різні області на одному прямокутнику $S$.

Діаграми Венна

Прямокутник — увесь $S$. Лише $A$ — «дощ без вітру»; лише $B$ — «вітер без дощу»; $A \cap B$ — обидва разом; поза колами — жодна з подій. Обʼєднання $A \cup B$ — три зафарбовані регіони разом. Різниця $A \setminus B$ — «$A$, але не $B$». Саме тому з $P(A)+P(B)$ треба віднімати перетин: спільна зона інакше рахується двічі.

Модель — контракт: ви явно кажете, які результати можливі і як розподілена маса. Без $P(S)=1$ таблиця «ймовірностей» може бути просто некоректною. Діаграма Венна допомагає не плутати «дощ або сніг» з «дощ і сніг» — різниця між $\cup$ та $\cap$ коштує балів на іспитах і грошей у ставках.

Що запамʼятати

Модель = $(S,\ \text{події},\ P)$ з аксіомами. Діаграми Венна показують $\cap$, $\cup$, $^c$. Один дослід може породити різні простори — від повних послідовностей монет до «кількості орлів». Перевіряйте суму атомів і адитивність на несумісних обʼєднаннях.