Властивості ймовірності

З аксіом випливають правила, якими користуються щодня. Доповнення: $P(A^c) = 1 - P(A)$ — «не $A$» займає решту ймовірності. Якщо $A \subseteq B$, то $P(A) \le P(B)$: більша подія не може бути менш ймовірною. Порожня подія має $P(\varnothing)=0$ — наслідок $P(S)=1$ і адитивності, а не окреме «припущення з повітря». Ці три факти вже дозволяють перевіряти багато сумнівних оцінок ризику.

Включення–виключення

Для двох подій формула включення–виключення виправляє подвійний підрахунок перетину. Приклад: співробітник запізнюється 10% днів, йде раніше 20%, обидва рази — 5%. Тоді $P(\text{запізнення або ранній відхід}) = 0{,}10 + 0{,}20 - 0{,}05 = 0{,}25$. Без знання перетину лишається субадитивність: $P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$ — швидка верхня оцінка.

Для новин: $P(\text{6-год})=2/3$, $P(\text{11-год})=1/2$, $P(\text{обидві})=1/3$. Лише 6-год: $2/3 - 1/3 = 1/3$. Жодної: $1 - P(\text{6 або 11}) = 1 - (2/3 + 1/2 - 1/3) = 1/6$. Ті самі відсотки з життя — та сама алгебра $P(A \cup B)$.

Закон повної ймовірності

Закон повної ймовірності без умови: $P(B)=\sum_i P(A_i \cap B)$ на розбитті простору. Умовна версія замінить перетин на $P(A_i)P(B|A_i)$ — це зʼявиться в уроці про умовність. Монотонність допомагає ловити неможливі оцінки: якщо «валет і трефа» ⊂ «валет», то $P(\text{валет}) \ge P(\text{валет і трефа})$.

Субадитивність $P(A \cup B) \le P(A)+P(B)$ корисна, коли оцінюєте ризик «хоча б однієї» з багатьох малоймовірних подій: сума окремих $P(A_i)$ — верхня межа без знання кореляцій. У надійності системи з кількома вузлами це дає швидку оцінку $P(\text{хоча б одна відмова})$.

Що запамʼятати

$P(A^c)=1-P(A)$; для обʼєднання віднімаємо перетин; монотонність і субадитивність — швидкі перевірки; повна ймовірність розбиває складну подію на шари. Практикуйте на відсотках з життя: новини, запізнення, карти — одна й та сама алгебра.