Рівномірна ймовірність і комбінаторика

На скінченному просторі з $N$ рівномірно ймовірними результатами: $P(A) = |A|/N$. Це класична «справедлива» модель: кожен результат однаково можливий. Колода: 52 рівні карти; $P(\text{туз}) = 4/52 = 1/13$. Комбінаторика рахує $|A|$ без перебору всіх $N$ — перестановки, розміщення, комбінації. Без питання «чи всі результати рівні?» формула $|A|/N$ бреше.

Комбінаторні формули

Комбінація — порядок не важливий (обрати $k$ з $n$). Розміщення — порядок важливий. Правило добутку: якщо перший крок має $a$ варіантів, другий — $b$, разом $a \cdot b$ (три монети → $2^3=8$). Для лотереї 6 з 49: $N = C(49,6)$. Перед підрахунком запитайте три речі: порядок важливий? Повторення дозволене? Усі результати рівні?

Перестановки $n$ обʼєктів: $n!$. Розміщення $k$ з $n$ з порядком: $P(n,k)=n!/(n-k)!$. У коді math.comb рахує $C(n,k)$ без переповнення факторіалів. Пʼять підкидань монети: $2^5=32$ рівних послідовностей; «рівно два орли» — $\binom{5}{2}=10$ з них, $P=10/32$. Якщо перейти до простору кількостей орлів $\{0,\ldots,5\}$, шанси вже $1/32,5/32,10/32,\ldots$ — інша модель того самого досліду. Пароль із чотирьох цифр з повторенням має $10^4$ варіантів; комітет із трьох людей з десяти — $C(10,3)$. Різниця лише в тому, чи важливий порядок і чи можна брати той самий елемент двічі.

Рівномірний розподіл на відрізку

Рівномірна міра на $[0,1]$: $P([a,b])=b-a$. Окремій точці $P(\{x\})=0$, але інтервали мають позитивну ймовірність — саме тому неперервні моделі описують «розмазані» результати: час очікування, помилку вимірювання, випадкове число в генераторі. Точка має міру нуль не тому, що «неможлива фізично», а тому що ймовірність «розмазана» по довжині. Це міст до модуля про PDF, де щільність покаже, як саме розмазано масу.

Що запамʼятати

Рівномірна модель: $P(A)=|A|/|S|$. $\binom{n}{k}$ — вибір без порядку. Правило добутку множить варіанти. На відрізку ймовірність пропорційна довжині. Комбінаторика — мова для підрахунку $|A|$ без перебору мільйонів результатів.