Незалежність подій

Події $A$ і $B$ незалежні, якщо знання про $B$ не змінює ймовірність $A$ : $P(A|B) = P(A)$ (за $P(B)>0$ ). Еквівалентно: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ . Незалежність — властивість моделі, не «фізичний звʼязок»: два підкидання однієї монети зазвичай незалежні; «дощ і мокра трава» — ні. Не плутайте з несумісністю: несумісні події з ненульовою ймовірністю залежні, бо якщо $A$ сталося, $B$ вже неможливе.

H_1 \perp H_2

A \perp B \iff P(A \cap B) = P(A)\,P(B) \iff P(A \mid B) = P(A).

Приклад

Команда виграє 60% матчів, програє 40%. Незалежні матчі: $P(\text{2 перемоги поспіль})=0{,}6^2=0{,}36$ . $P(\text{хоча б одна перемога в двох})=1-0{,}4^2=0{,}64$ . «Хоча б одна» зручніше через доповнення, ніж перебирати всі комбінації.

Незалежність кількох подій

Практична перевірка: якщо $P(A|B)=P(A)$ , дані про $B$ не допомагають передбачити $A$ . Якщо $P(A|B) \gg P(A)$ , $B$ — сильний сигнал. У двох незалежних підкиданнях монети 1024 послідовності рівноймовірні; «перша орел» і «друга орел» перетинаються в чверті всіх випадків — $P(\text{обидва})=1/4=P(\text{перша})P(\text{друга})$ .

Приклад

55% студенток, 45% студентів; серед дівчат 44% з довгим волоссям, серед хлопців 15%. Тоді $P(\text{довге волосся}) = 0{,}44+0{,}15=0{,}59$ , а $P(\text{жінка або довге волосся}) = 0{,}55 + 0{,}59 - 0{,}44 = 0{,}70$ . Незалежність «стать ⊥ волосся» тут не виконується: умовні частоти різні.

Порада

У даних перевіряйте незалежність емпірично: якщо $P(A \cap B)$ суттєво відрізняється від $P(A)P(B)$ , модель «незалежно» бреше. Далі в курсі зʼявляться кореляція і умовна незалежність для випадкових величин. A/B-тести часто припускають незалежність між користувачами.

Попарна незалежність слабша за повну: можна мати $A \perp B$ , $B \perp C$ , $A \perp C$ , але трійка $(A,B,C)$ залежна. На іспитах питання «чи достатньо попарної?» для повної незалежності майже завжди має відповідь «ні». У $n$ незалежних випробуваннях Бернуллі з імовірністю успіху $p$ зʼявляється біноміальний розподіл $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ — без незалежності ця формула не застосовна, бо тоді треба знати спільний розподіл усієї послідовності успіхів і невдач.

Увага

Несумісні події з ненульовою ймовірністю завжди залежні. Незалежність означає лише те, що інформація про $B$ не змінює $P(A)$ . Перевіряйте обидва визначення на задачах з картами й повторними експериментами.

Що запамʼятати

Незалежність: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Це не те саме, що несумісність. Для кількох подій потрібна умова на всіх перетинах підмножин. Незалежні експерименти множать ймовірності. У даних звіряйте $P(A \cap B)$ з $P(A)P(B)$ .

Незалежність кількох подій

Що запамʼятати

Перевірка