Операції з функціями, композиція, перетворення графіків

Модуль 1Урок 3 з 79Безкоштовний модуль

З кількох простих функцій будують складні: додають, множать, «вкладають» одна в одну. І навпаки — за відомим графіком y=f(x)y = f(x) малюють y=2f(x−1)+3y = 2f(x - 1) + 3 без обчислення точок. Цей урок про арифметику функцій, композицію й зсуви/розтяги графіка.

Арифметика та композиція

Сума, різниця й добуток ff і gg визначені на D(f)∩D(g)D(f) \cap D(g); частка — ще й де g(x)≠0g(x) \ne 0. Композиція (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)): спершу gg, потім ff. Область — ті x∈D(g)x \in D(g), для яких g(x)∈D(f)g(x) \in D(f). Порядок важливий: f∘gf \circ g і g∘fg \circ f зазвичай різні. На практиці складну формулу розкладають «зсередини назовні»: у y=sin⁡x2+1y = \sin\sqrt{x^2 + 1} спочатку x2+1x^2 + 1, потім корінь, потім синус — три ланки.

(f∘g)(x)=f(g(x)),D(f∘g)={x∈D(g):g(x)∈D(f)}.(f \circ g)(x) = f(g(x)), \qquad D(f \circ g) = \{ x \in D(g) : g(x) \in D(f) \}.

Приклад

Нехай f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, g(x)=x+1g(x) = x + 1. Тоді (f∘g)(x)=x+1(f \circ g)(x) = \sqrt{x + 1} на [−1,+∞)[-1, +\infty), а (g∘f)(x)=x+1(g \circ f)(x) = \sqrt{x} + 1 на [0,+∞)[0, +\infty). Для f=xf = \sqrt{x}, g=1−xg = \sqrt{1 - x} частка f/gf/g живе на [0,1)[0, 1). Ще приклад області: y=ln⁡xy = \sqrt{\ln x} вимагає x>0x > 0 і ln⁡x≥0\ln x \ge 0, тобто x≥1x \ge 1.

Увага

Спрощення може розширити область: (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x «на папері», але композиція визначена лише на [0,+∞)[0, +\infty). Область шукайте за початковою формулою.

Перетворення графіків

GPS показує маршрут як базову криву; зсув у часі, масштаб карти й відображення в дзеркалі — ті самі перетворення, що й у y=f(x−a)+ky = f(x - a) + k. y=f(x)+ky = f(x) + k — зсув угору/вниз. y=f(x−a)y = f(x - a) при a>0a > 0 — зсув вправо (горизонталь діє «навпаки»). y=cf(x)y = c f(x) — вертикальний розтяг; y=f(cx)y = f(cx) при c>1c > 1 — горизонтальний стиск. y=−f(x)y = -f(x) і y=f(−x)y = f(-x) — відбиття.

Пунктир — базовий графік f(x)f(x). Суцільна крива послідовно показує зсув f(x−1)f(x-1), вертикальний розтяг 2f(x)2f(x) і горизонтальний стиск f(2x)f(2x).

y=∣f(x)∣y = |f(x)| відбиває вниз вгору; y=f(∣x∣)y = f(|x|) дзеркалить праву половину — результат завжди парний.

y=f(x−a)+k(вправо на a, угору на k при a,k>0).y = f(x - a) + k \quad \text{(вправо на $a$, угору на $k$ при $a, k > 0$)}.

Приклад

y=−2(x+1)2+3y = -2(x + 1)^2 + 3: з y=x2y = x^2 — вліво на 11, розтяг ×2\times 2, відбиття вниз, угору на 33. Вершина (−1,3)(-1, 3). Кутик y=∣x−2∣−1y = |x - 2| - 1 — вершина (2,−1)(2, -1).

Порада

Усе всередині дужок — по горизонталі й «навпаки»; усе зовні — по вертикалі й «як написано».

Що запамʼятати

Арифметика — на перетині областей. Композиція: спочатку внутрішня функція. Область — до спрощень. Зсув аргументу — горизонталь навпаки; зовнішня стала — вертикаль прямо.

Перевірка

4 питання

Кілька питань за матеріалом уроку. Спроб — скільки завгодно.

1.f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, g(x)=xg(x) = \sqrt{x}. Чому дорівнює (f∘g)(4)(f \circ g)(4)?
2.f=ln⁡xf = \ln x, g=1−xg = 1 - x. Область f∘gf \circ g —
3.Як з y=f(x)y = f(x) дістати y=f(x−3)+2y = f(x - 3) + 2?
4.Графік y=f(2x)y = f(2x) — це

Додаткова практика

8 задач

Задачі для закріплення теми. Не обовʼязкові для проходження уроку.

Команда курсу рекомендує розвʼязати ці задачі після квізу — так тема закріпиться краще. Можна пропустити й повернутись пізніше.

  1. 1.

    f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, g(x)=xg(x) = \sqrt{x}. Обчисліть (f∘g)(9)(f \circ g)(9).

  2. 2.

    f=ln⁡xf = \ln x, g=1−xg = 1 - x. Знайдіть D(f∘g)D(f \circ g).

  3. 3.

    f=xf = \sqrt{x}, g=1−xg = \sqrt{1 - x}. На якій множині визначена f/gf/g?

  4. 4.

    Як з y=f(x)y = f(x) дістати y=f(x+2)−3y = f(x + 2) - 3?

  5. 5.

    Розкладіть y=sin⁡x2+1y = \sin\sqrt{x^2 + 1} у ланцюжок зсередини.

  6. 6.

    Чи завжди y=f(∣x∣)y = f(|x|) парна (якщо визначена)? так / ні

  7. 7.

    Вершина y=−2(x+1)2+3y = -2(x + 1)^2 + 3?

  8. 8.

    Що робить y=f(2x)y = f(2x) з графіком по горизонталі?