Функція: означення, область і множина значень, графік

Температура залежить від висоти, площа круга — від радіуса, шлях — від часу. У кожному випадку одне число однозначно визначає інше. У аналізі функція — саме таке правило відповідності, а не «просто формула». Тут — область визначення, множина значень, графік і базові властивості.

Що таке функція

Функція $f : D \to \mathbb{R}$ кожному $x \in D$ ставить у відповідність єдине значення $f(x)$. Множина $D$ — область визначення $D(f)$; усі можливі значення $f(x)$ — множина значень $E(f)$. Одному $x$ — одне $y$, але різним $x$ може відповідати той самий $y$ (як у $x^2$).

Якщо функцію задано формулою без умов, беруть природну область: знаменник $\ne 0$, під коренем парного степеня $\ge 0$, аргумент логарифма $> 0$.

Графік і кусково задані функції

Графік — множина точок $(x, f(x))$. Критерій вертикальної прямої: вертикаль перетинає графік не більше ніж раз. Коло $x^2 + y^2 = 1$ — не графік однієї функції. Кусково задана функція на різних проміжках має різні формули: спочатку зʼясуйте, куди потрапив $x$, потім підставляйте.

Парність, монотонність, обмеженість, періодичність

Парна: $f(-x) = f(x)$ (симетрія відносно $Oy$); непарна: $f(-x) = -f(x)$. Зростаюча — більшому $x$ відповідає більше $f(x)$. Обмежена: $|f(x)| \le M$. Періодична з періодом $T$: $f(x + T) = f(x)$; для $\sin$ і $\cos$ основний період $2\pi$.

Що запамʼятати

Функція — єдине значення на кожен $x$. Область — з умов формули. Графік проходить критерій вертикальної прямої. Парність, монотонність, обмеженість, періодичність читаються з графіка.