Елементарні функції: тригонометричні, показникова, логарифмічна, обернені

Степінь, експонента, логарифм, синус і арксинус — «цеглинки», з яких складають майже всі формули курсу. Щоб вільно ними крутити, варто розуміти обернену функцію: логарифм — обернена до показникової, арксинус — до синуса на звуженому проміжку.

Обернена функція

Функція оборотна, якщо різним $x$ відповідають різні $y$ (критерій горизонтальної прямої). Тоді існує $f^{-1}$ : $f^{-1}(f(x)) = x$ і $f(f^{-1}(y)) = y$ . Області визначення й множини значень міняються місцями. Строго монотонна функція завжди оборотна. Графіки $f$ і $f^{-1}$ симетричні відносно $y = x$ .

(x, f(x))

Приклад

Для $f(x) = \dfrac{x + 1}{2}$ маємо $f^{-1}(x) = 2x - 1$ . Функція $x^2$ на всій прямій необоротна, але на $[0, +\infty)$ обернена — $\sqrt{x}$ .

Показникова, логарифм, тригонометрія

$a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ) визначена на $\mathbb{R}$ , значення додатні; при $a > 1$ зростає. Обернена — $\log_a x$ на $(0, +\infty)$ . Натуральний логарифм — $\ln x$ . Властивості логарифмів повторюють степені: логарифм добутку — сума, степеня — множник перед логом. Синус і косинус періодичні з $2\pi$ , обмежені одиницею; кути в аналізі — у радіанах. Тангенс має період $\pi$ і вертикальні асимптоти. Обернені тригонометричні означені на звуженнях: $\arcsin$ на $[-\pi/2, \pi/2]$ , $\arccos$ на $[0, \pi]$ , $\operatorname{arctg}$ на $(-\pi/2, \pi/2)$ .

\begin{gathered} a^{\log_a x}=x,\quad \log_a(a^x)=x,\quad \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\\[0.4em] \log_a(x^k)=k\log_a x,\quad \ln x=\log_e x,\quad a^x=e^{x\ln a},\\[0.4em] \sin^2 t+\cos^2 t=1,\quad 1+\operatorname{tg}^2 t=\frac{1}{\cos^2 t},\quad 1+\operatorname{ctg}^2 t=\frac{1}{\sin^2 t},\\[0.4em] \sin 2t=2\sin t\cos t,\quad \cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t. \end{gathered}

Порада

Для майбутніх похідних корисно памʼятати «заготовки»: $(e^x)'=e^x$ , $(a^x)'=a^x\ln a$ , $(\ln x)'=1/x$ , $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , $(\operatorname{tg} x)'=1/\cos^2 x$ . Детально їх виводять у модулі про похідну.

Приклад

$2^x = 5$ дає $x = \log_2 5$ . Область $y = \ln(x^2 - 1)$ : $x^2 - 1 > 0$ , тобто $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ . $\arccos(-\sqrt{2}/2) = 3\pi/4$ (значення в $[0, \pi]$ ). $\arcsin(\sin 3) = \pi - 3$ , бо $3$ поза $[-\pi/2, \pi/2]$ . $\operatorname{arctg}(-1) = -\pi/4$ , бо арктангенс непарний.

Увага

$\arcsin(\sin x) = x$ лише на $[-\pi/2, \pi/2]$ . Формула $\ln(x^2 - 1) = \ln(x - 1) + \ln(x + 1)$ коректна лише при $x > 1$ .

Порада

Логарифм — це показник: $\log_2 8 = 3$ . Арксинус і арктангенс «живуть» симетрично навколо нуля; арккосинус — у верхній півплощині кутів.

Що запамʼятати

Обернена функція існує для взаємно однозначних відображень; логарифм — обернена до показникової, арксинус — до синуса на звуженому проміжку. Памʼятайте діапазони значень обернених тригонометричних і не плутайте $\arcsin(\sin x)$ із тотожністю на всій прямій. Елементарна функція — скінченна комбінація основних через арифметику й композицію.

Обернена функція

Показникова, логарифм, тригонометрія

Що запамʼятати

Перевірка

Додаткова практика