Множини, числова пряма, проміжки

Порада

Наполегливо рекомендуємо йти цим курсом разом із відео: Calculus 1 — для границь, похідної й початку інтеграла; Calculus 2 — для техніки інтегрування, рядів і продовження. Уроки тут дають формули, повні приклади й практику; відео добре доповнюють інтуїцію.

Calculus 1 — відеокурсYouTube-плейлист: дивіться разом із першою половиною курсу

Calculus 2 — відеокурсYouTube-плейлист: інтеграли, ряди та далі

Перш ніж говорити про границі й похідні, потрібна спільна мова: множини, проміжки й модуль як відстань. Без цього важко навіть записати «точки поблизу $a$ ». У цьому уроці — операції над множинами, числова пряма, нерівності з модулем і коротко супремум з інфімумом.

Множини та операції

Множина — сукупність обʼєктів. Пишемо $x \in A$ («належить») і $x \notin A$ . Порожня множина — $\varnothing$ . Якщо кожен елемент $A$ є в $B$ , то $A \subset B$ . Обʼєднання $A \cup B$ — елементи хоча б з однієї множини; перетин $A \cap B$ — спільні; різниця $A \setminus B$ — з $A$ , але не з $B$ .

A \cup B = \{x : x \in A \lor x \in B\}, \quad A \cap B = \{x : x \in A \land x \in B\}, \quad A \setminus B = \{x : x \in A,\ x \notin B\}.

Приклад

Нехай $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 5\}$ . Тоді $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $A \cap B = \{3, 4\}$ , $A \setminus B = \{1, 2\}$ . Для проміжків: $[0, 3] \cap (1, 5) = (1, 3]$ , а $[0, 3] \setminus (1, 5) = [0, 1]$ — точка $1$ лишається, бо не в $(1, 5)$ .

Проміжки та модуль

Числові множини вкладені: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Дійсна пряма «без дірок» — саме тому аналіз працює. Проміжки: $[a, b]$ включає кінці, $(a, b)$ — ні; біля $\pm\infty$ дужка завжди кругла. Модуль $|x|$ — відстань від $x$ до нуля; $|x - a|$ — відстань між $x$ і $a$ .

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0, \end{cases} \qquad |x - a| < \varepsilon \iff a - \varepsilon < x < a + \varepsilon.

Приклад

$|x - 3| < 2$ читається як «ближче до $3$ , ніж на $2$ »: $(1, 5)$ . $|x + 1| \ge 4$ — «не ближче до $-1$ , ніж на $4$ »: $x \le -5$ або $x \ge 3$ . Проміжок $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ — $\varepsilon$ -окіл точки $a$ ; якщо викинути саму $a$ , маємо проколотий окіл $0 < |x - a| < \varepsilon$ — він потрібен для границь.

|x-a|<\varepsilon

Супремум та інфімум

Множина обмежена зверху, якщо всі її елементи $\le M$ для деякого $M$ . Найменшу таку межу називають супремумом $\sup A$ ; найбільшу нижню межу — інфімумом $\inf A$ . Якщо $\sup A$ лежить у $A$ , це максимум; але супремум може й не належати множині.

Порада

Для $A = \{1, 1/2, 1/3, \ldots\}$ маємо $\sup A = 1$ (і це максимум), а $\inf A = 0$ , хоча $0 \notin A$ . У відкритому $(0, 1)$ і супремум $1$ , і інфімум $0$ поза множиною — максимуму й мінімуму немає.

Увага

Не плутайте супремум із максимумом. Також при розкритті модуля дивіться на знак правої частини: $|x - 1| < -2$ розвʼязків немає.

Що запамʼятати

Обʼєднання, перетин, різниця; проміжки з круглими й квадратними дужками; модуль як відстань; $\varepsilon$ -окіл і проколотий окіл; супремум може не бути максимумом.

Множини та операції

Проміжки та модуль

Супремум та інфімум

Що запамʼятати

Перевірка

Додаткова практика